Massenschwerpunkt berechnen (2 Massen)
Berechnet den Massenschwerpunkt eines Systems aus zwei Punktmassen auf einer Linie.
Variablen-Erklärung
Massenschwerpunkt – Grundlagen
Der Massenschwerpunkt (Massenmittelpunkt, center of mass) ist der gewichtete Mittelpunkt aller Massen eines Systems. An ihm greift die Schwerkraft des gesamten Körpers an. Für zwei Punktmassen auf einer Linie gilt:
xs = (m₁·x₁ + m₂·x₂) / (m₁ + m₂)
Der Schwerpunkt liegt immer zwischen den beiden Massen – näher an der schwereren Masse.
Anschauliche Interpretation: Wippe
Stell dir eine Wippe (Hebel) vor: Der Massenschwerpunkt ist genau der Punkt, an dem die Wippe im Gleichgewicht liegt. Schwerere Massen ziehen den Schwerpunkt stärker zu sich hin.
| m₁ (kg) | x₁ (m) | m₂ (kg) | x₂ (m) | xs (m) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 1 | 4 | 2,0 (Mitte) |
| 3 | 0 | 1 | 4 | 1,0 (näher m₁) |
| 1 | 0 | 3 | 4 | 3,0 (näher m₂) |
| 5 | 2 | 5 | 8 | 5,0 (Mitte) |
| 4 | 1 | 2 | 4 | 2,0 |
Berechnungsbeispiele
Beispiel 1: Zwei Kinder auf der Wippe
Kind 1: m₁ = 30 kg bei x₁ = 0 m (linkes Ende), Kind 2: m₂ = 20 kg bei x₂ = 3 m (rechtes Ende):
- xs = (30·0 + 20·3) / (30+20) = 60/50 = 1,2 m vom linken Ende
- Damit die Wippe im Gleichgewicht liegt, muss der Drehpunkt bei 1,2 m liegen.
Beispiel 2: Fahrzeugachslastverteilung
Motor (m₁ = 180 kg) bei x₁ = 0,5 m, Kofferraum (m₂ = 60 kg) bei x₂ = 3,8 m (Fahrzeuglänge 4 m):
- xs = (180·0,5 + 60·3,8) / (180+60) = (90 + 228) / 240 = 1,325 m
- → Schwerpunkt bei 33 % der Fahrzeuglänge (vorderlastig)
Massenschwerpunkt vs. Flächenschwerpunkt
| Eigenschaft | Massenschwerpunkt | Flächenschwerpunkt |
|---|---|---|
| Gewichtung | Massen mi | Flächen Ai |
| Formel | xs = Σ(mi·xi)/Σmi | xs = Σ(Ai·xi)/Σ Ai |
| Anwendung | Physik, Dynamik, Statik | Geometrie, Tragwerksplanung |
| Bei homogenem Körper | Beide Schwerpunkte sind identisch | |