Kräfte & Dynamik
Massenschwerpunkt berechnen (3 Massen)
xs = (m₁x₁ + m₂x₂ + m₃x₃) / (m₁+m₂+m₃)
Berechnet den Massenschwerpunkt eines Systems aus drei Punktmassen auf einer Linie.
Massenschwerpunkt (x_s):
—
Werte eingeben und berechnen
Variablen-Erklärung
xs = Massenschwerpunkt in Meter (m)
m₁, m₂, m₃ = Massen in Kilogramm (kg)
x₁, x₂, x₃ = Positionen in Meter (m)
Massenschwerpunkt für 3 Punktmassen
Die Formel erweitert das Prinzip des 2-Massen-Schwerpunkts auf drei Körper:
xs = (m₁·x₁ + m₂·x₂ + m₃·x₃) / (m₁ + m₂ + m₃)
Allgemein für n Massen: xs = Σ(mᵢ·xᵢ) / Σmᵢ
Berechnungsbeispiele
Beispiel 1: Drei Gewichte auf einem Balken
m₁ = 10 kg bei x₁ = 0 m, m₂ = 20 kg bei x₂ = 3 m, m₃ = 15 kg bei x₃ = 6 m:
- Zähler: 10·0 + 20·3 + 15·6 = 0 + 60 + 90 = 150
- Gesamtmasse: 10 + 20 + 15 = 45 kg
- xs = 150 / 45 = 3,33 m
Beispiel 2: Fahrzeug mit Fahrer, Beifahrer und Gepäck
Fahrer m₁ = 80 kg bei x₁ = 1 m, Beifahrer m₂ = 70 kg bei x₂ = 1 m, Gepäck m₃ = 30 kg bei x₃ = 4 m (Kofferraum):
- Zähler: 80·1 + 70·1 + 30·4 = 80 + 70 + 120 = 270
- Gesamtmasse: 80 + 70 + 30 = 180 kg
- xs = 270 / 180 = 1,5 m
Beispiel 3: Gleichmäßige Verteilung
Drei gleiche Massen (je 5 kg) bei x₁ = 0, x₂ = 5, x₃ = 10 m:
- xs = (5·0 + 5·5 + 5·10) / 15 = 75/15 = 5 m (genau in der Mitte)
Schrittweise Berechnung
| Schritt | Aktion |
|---|---|
| 1 | Koordinatensystem festlegen (Nullpunkt wählen) |
| 2 | Positionen x₁, x₂, x₃ der Massen eintragen |
| 3 | Gewichtete Summe berechnen: Σ(mᵢ·xᵢ) |
| 4 | Gesamtmasse berechnen: Σmᵢ |
| 5 | Dividieren: xs = Σ(mᵢ·xᵢ) / Σmᵢ |
Praktische Hinweise
- Vorzeichen beachten: Positionen können negativ sein (links vom Nullpunkt).
- Einheiten konsistent halten: Alle Massen in kg, alle Positionen in m.
- Nullpunkt frei wählbar: Das Ergebnis ändert sich mit dem gewählten Nullpunkt, die physikalische Aussage bleibt gleich.