Massenschwerpunkt in der Ebene (2D)

Liegen die Massen nicht auf einer Linie, sondern verteilt in der Ebene, werden x_s und y_s jeweils separat als gewichteter Mittelwert berechnet:

x_s = (m₁·x₁ + m₂·x₂) / (m₁ + m₂)

y_s = (m₁·y₁ + m₂·y₂) / (m₁ + m₂)

Die x- und y-Koordinate des Schwerpunkts sind vollständig unabhängig voneinander – die Berechnung erfolgt separat nach demselben Prinzip.

Berechnungsbeispiele

Beispiel 1: Kran mit exzentrischer Last

Kranausleger m₁ = 500 kg bei (x₁=2 m, y₁=8 m), Last m₂ = 200 kg bei (x₂=10 m, y₂=3 m):

• x_s = (500·2 + 200·10) / 700 = 3000/700 = 4,29 m
• y_s = (500·8 + 200·3) / 700 = 4600/700 = 6,57 m
• → Schwerpunkt bei (4,29 m | 6,57 m) bestimmt die Kippsicherheit

Beispiel 2: Schiffsbeladung

Container 1: m₁ = 8.000 kg bei (x₁=5 m, y₁=2 m), Container 2: m₂ = 12.000 kg bei (x₂=15 m, y₂=4 m):

• x_s = (8000·5 + 12000·15) / 20000 = 220000/20000 = 11 m
• y_s = (8000·2 + 12000·4) / 20000 = 64000/20000 = 3,2 m
• → Schwerpunkt bei 11 m Länge und 3,2 m Höhe

Beispiel 3: Fahrzeugschwerpunkt (Draufsicht)

Motor m₁ = 200 kg bei (x₁=0,8 m, y₁=0,7 m), Batterie m₂ = 150 kg bei (x₂=2,5 m, y₂=0,3 m):

• x_s = (200·0,8 + 150·2,5) / 350 = 535/350 = 1,53 m
• y_s = (200·0,7 + 150·0,3) / 350 = 185/350 = 0,53 m

Erweiterung auf 3D

Im dreidimensionalen Raum kommt analog eine dritte Koordinate hinzu:

z_s = (m₁·z₁ + m₂·z₂) / (m₁ + m₂)

Alle drei Koordinaten (x_s, y_s, z_s) werden unabhängig voneinander berechnet. Wichtig für die Schwerpunkthöhe bei Fahrzeugen, Kränen und Lagerregalen.

Anwendungen in der Technik

Bereich	Anwendung
Fahrzeugtechnik	Schwerpunktlage, Achslastverteilung, Kippsicherheit
Kranbau	Standsicherheit, maximale Ausladung
Schiffbau	Trimm, Stabilitätsnachweis (GM-Wert)
Robotik	Gleichgewicht von Roboterarmen
Luftfahrt	Schwerpunktlage im Beladungsdiagramm
Statik	Lage der Resultierenden bei verteilten Lasten